SEGIBANYAK/POLIGON BERATURAN

A.     Pengertian

Segibanyak beraturan adalah suatu segibanyak yang semua sisinya sama panjang dan semua sudutnya sama besar. (sumber : http://p4tkmatematika.org/downloads/sd/Geometri.pdf)

B.      Prinsip-prinsip dalam Segibanyak Beraturan :

Prinsip 1 :        Jika segi-n beraturan mempunyai panjanh sisi s, maka keliling nya K = ns

Prinsip 2 :        Pada sembarang segi-n dapat dibuat lingkaran luarnya

Prinsip 3 :        Pada sembarang segi-n dapat dibuat lingkaran dalamnya

Prinsip 4 :        Pusat  suatu segi-n juga merupakan pusat lingkaran luarnya

Prinsip 5 :        Suatu segibanyak sama sisi dalam sebuah lingkaran adalah segibanyak beraturan.

Prinsip 6 :        Jari-jari suatu segi-n  beraturan adalah sama

Prinsip 7 :        Sebuah jari-jari segibanyak beraturan membagi dua sudut segibanyak  sama besar.

Prinsip 8 :        Apotema-apotema segi-n beraturan adalah sama.

Prinsip 9 :        Suatu apotema segi-n beraturan membagi dua sama panjang sisi segi-n tersebut.

Prinsip 10 : Untuk sebuah segi-n

a)      sudut pusat besarnya / sama dengan sudut luarnya.

b)      sudut dalamnya /            

(sumber : HYPERLINK "http://www.scribd.com/doc/104048677/22/Segibanyak-beraturan"http://www.scribd.com/doc/104048677/22/Segibanyak-beraturan)

Segi banyak beraturan memiliki :

Jumlah sudut segi n = (n -2) 180⁰

Besar setiap sudut =

Jumlah garis sudut menyudut suatu segi n = 1/2 n (n ± 3)

Keterangan :

a_n = sisi segi banyak n dalam yang beraturan

a2_n = sisi segi banyak 2n dalam yang beraturan

A_n = sisi segi banyak luar yang beraturan

R = radius lingkaran luar

a₃ = R √ 3 a₆ = R

a₄ = R √ 2 a₈ = R √(2-√ 2)

a₅ = 1/2 R √(10 – 2 √ 5) a₁₀ = 1/2 R (√5 – 1)

a₁₂ = R √(2 – √3)

Rumus Pergandaan :

a2_n = √{2 R² – R √(4R² – a_n²)}

2 a_n x R

A_n = ——————-

√(4R² – a_n²)

Meghitung Luas Segi  - n Beraturan

Pembuktian Rumus Luas Segi - n beraturan

Kita bisa cari di buku / internet rumus luas segi n beraturan adalah

 

Tapi darimana rumus tersebut di dapat ??

Kali ini saya akan membuktikan sebuah rumus segi - n beraturan dalam lingkaran agar anda dapat memahaminya

Sebagai permisalan gambar segi enam dalam lingkaran

Titik pusat lingkaran / Titik perpotongan garis AD, BE, dan CF kita anggap titik O

Maka OA = OB = OC = OD = OE = OF = r

Maka segitiga yang ada di dalam lingkaran tersebut adalah segitiga sama kaki

Besar sudut O adalah 360 derajat

Karena sudut O dibagi n sama besar, maka besar sudut FOA = AOB = BOC = ... = 360 / n

Untuk mencari Luas satu segitiga gunakan rumus Luas dengan ketentuan sisi sudut sisi ( ambil contoh segitiga AOB )








Karena segi - n memiliki jumlah segitiga penyusunsebanyak n buah

( contoh gambar di atas segi 6 memiliki 6 segitiga penyusun )

Maka Luas segi n beraturan tersebut adalah

  

Keterangan : n = banyak sisi segi n 

                   r = jari - jari lingkaran

(sumber : HYPERLINK "http://rizqdarmawan.blogspot.com/2012/04/rumus-luas-segi-n-beraturan.html" http://rizqdarmawan.blogspot.com/2012/04/rumus-luas-segi-n-beraturan.html)

Sekarang bagaimana jika yang diketahui panjang sisinya?

Sebelumnya, menegaskan. Bahwa r disini kita sebut jari-jari. Padahal sejatinya bukan merupakan jari-jari. Karena jari-jari adalah jarak suatu titik (pusat) ke garis yang membentuk bangun datar tersebut. Misalnya lingkaran. Untuk kasus ini, kami memberi nama jari-jari untuk mempermudah saja.

Lalu, bagaimana mencari luas segi-n beraturan jika yang diketahui panjang sisinya. Tentunya akan kita cari hubungan antara jari-jari dan panjang sisinya. Dengan menggunakan aturan cosines, yaitu 

 

Dengan A adalah besar sudut yang menghadapa sisi a.

Sebelumnya, kita akan berbicara mengenai sudutnya. Besar sudut pusat dari segitiga-segitiga hasil potongan kita pada segi-n beraturan (bisa dilihat pada gambar), sama dengan 360 derajat dibagi dengan banyaknya segitiga, yaitu sebanyak n. jadi, bisa dilihat pada gambar di atas.

Besar sudut pusat pada segitiga beraturan adalah

Besar sudut pusat pada segiempat beraturan adalah

Besar sudut pusat pada segilima beraturan adalah

…

Besar sudut pusat pada segi-n beraturan adalah

Sekarang kita gunakan aturan cosines untuk menentukan hubungan antara r dan s. perhatikan gambar di atas.

Diperoleh,

 

Inilah rumus untuk mencari r apabila yang diketahui adalah sisinya. Jika bentuk tersebut lebih disederhanakan, maka menjadi 

Rumus ini bisa digunakan untuk sebarang segi-n beraturan. Dengan menggunakan rumus ini, bisa dicari luas segi-n dengan n yang sangat besar dengan mudah.

Contoh salah satu segi banyak beraturan :

(sumber : http://www.scribd.com/doc/53568234/Menghitung-Luas-Segi-Lima-Beraturan)

Rumus Menghitung Diagonal Segi-n Beraturan

Untuk menghitung banyaknya diagonal pada Segi-n Beraturan, dapat memakai rumus ini nih:
1/2 x [n x (n - 3)]

Kita pertama menanyakan berapa jumlah ukuran sudut dari kedua segi banyak? Untuk menjawab pertanyaan ini kita menggambar diagonal dari suatu puncak segi banyak supaya membentuk segitiga. ( Gambar dapat dilihat di buku cetak)

Jumlah Ukuran Sudut Segi Banyak
Dalam setiap permasalahan di atas jumlah ukuran sudut segi banyak merupakan jumlah ukuran sudut segitiga sesuai dengan tabel berikut:

Segi banyak      Jumlah sisi    Jumlah Segitiga   Jumlah Ukuran sudut
Segiempat               4                    2                     2(180) = 360
Segilima                  5                    3                     3(180) = 540
Segienam                6                    4                     4(180) = 720
     :
     :
Segi n                     n                   n-2                    (n-2)180


Dari tabel di atas diperoleh 2 teorema sebagai berikut
Teorema 8-14
Jumlah ukuran sudut dari sebuah segi banyak adalah (n-2)180.

Teorema 8-15
Ukuran sudut dari segi banyak beraturan dengan n sisi adalah (n-2)/n . 180


Pikirkan sebuah segilima . Sebuah sudut luar di tiap puncak telah dinamai seperti pada gambar (Gambar dapat dilihat di buku cetak). Jika kita memotong sudut luar ini dan menyusunnya melingkar pada sebuah titik maka diperoleh jumlah sudutnya 360 sesuai dengan teorema 8-16.

Teorema 8-16
Jumlah ukuran sudut luar dari sebuah segi banyak yang terletak pada masing-masing puncak adalah 360.

 (sumber : http://geodas8.blogspot.com/2009/12/8-7-sudut-dari-segi-banyak.html)